Question

1．設(shè)函數(shù)f_n（x）=（1+x）ⁿ．
（1）若f₂₀₁₃（x）=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₃x²⁰¹³，
①求值：a₀+a₁+…+a₂₀₁₃
②求值：a₁+a₃+…+a₂₀₁₁+a₂₀₁₃
（2）當(dāng)|x|≤1時(shí)，證明：f_n（x）+f_n（-x）≤2ⁿ（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）利用賦值法，即可得出結(jié)論；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)不等式，先驗(yàn)證n=2時(shí)成立，再假設(shè)n=k時(shí)成立，證明n=k+1時(shí)成立即可．

解答 （1）解：①n=1時(shí)，a₀+a₁+…+a₂₀₁₃=2²⁰¹³，
②n=-1時(shí)，a₀-a₁+…-a₂₀₁₃=0，
∴a₁+a₃+…+a₂₀₁₁+a₂₀₁₃=2²⁰¹²；
（2）證明：由于|x|≤1，n≥2，n∈N．
當(dāng)n=1時(shí)，（1+x）+（1-x）=2，成立
假設(shè)n=k時(shí)成立，即（1+x）^k+（1-x）^k≤2^k成立
當(dāng)n=k+1時(shí)，則：（1+x）^k+1+（1-x）^k+1=（1+x）^k×（1+x）+（1-x）^k×（1-x）=（1+x）^k+x（1+x）^k+（1-x）^k-x（1-x）^k≤2^k+x[（1+x）^k-（1-x）^k]
=2^k+x（2C_k¹x+2C_k³x³+…）=2^k+（2C_k¹+2C_k³+…）=2^k+2^k=2^k+1，
故當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立
綜上知：（1+x）ⁿ+（1-x）ⁿ≤2ⁿ，其中|x|≤1，n∈N^*成立，
所以f_n（x）+f_n（-x）≤2ⁿ（n∈N^*）

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式系數(shù)和問題，考查用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，求解本問題的關(guān)鍵是掌握數(shù)學(xué)歸納法證明的原理，先證初始值成立，再假設(shè)n=k時(shí)成立，然后證n=k+1時(shí)成立．