Question

已知圓M：x²+y²-4x+2y+c=0與y軸交于A，B兩點，圓心為M，且∠AMB=90°．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）若圓M與直線x+y-1=0交于E，F(xiàn)兩點，且E，F(xiàn)的橫坐標x_E＜y_F，動點H到E，F(xiàn)兩點的距離的比為λ（λ＞0），求點H的軌跡方程，并說明它是什么圖形．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）利用△AMB為等腰直角三角形，可求c的值；
（Ⅱ）求出E，F(xiàn)的坐標，利用動點H到E，F(xiàn)兩點的距離的比為λ（λ＞0），可得軌跡方程．

解答： 解：（Ⅰ）圓M：x²+y²-4x+2y+c=0可化為（x-2）²+（y+1）²=5-c，
∵∠AMB=90°，
∴△AMB為等腰直角三角形，
∴5-c=8，
∴c=-3；
（Ⅱ）直線x+y-1=0代入x²+y²-4x+2y-3=0，∵x_E＜y_F，∴E（0，1），F(xiàn)（4，-3）．
設(shè)H（x，y），則
|HE|²=x²+（y-1）²，|HF|²=（x-4）²+（y+3）²，
∵動點H到E，F(xiàn)兩點的距離的比為λ（λ＞0），
∴（1-λ²）x²+（1-λ²）y²+8λ²x-（2+6λ²）y+1-25λ²=0，
λ=1時，方程為x-y-3=0，軌跡為線段EF的垂直平分線，
λ≠1時，方程表示以（-

4λ2

1-λ2

，

1+3λ2

1-λ2

）為圓心，

4 2 λ

|1-λ2|

為半徑的圓．

點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查軌跡方程，考查小時分析解決問題的能力，屬于中檔題．