Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，}&{0≤x≤1}\\{\frac{x}{a}+1，}&{-1≤x＜0}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1）．若f（x）的最大值與最小值之差為$\frac{3}{2}$，則a的取值為2或$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 對a討論，分a＞1，0＜a＜1，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最值，解方程可得a的值．

解答 解：當(dāng)a＞1時，f（x）在[0，1]遞增，
即有f（x）∈[1，a]；
f（x）在[-1，0）遞增，可得f（x）∈[1-$\frac{1}{a}$，1）；
此時f（x）的最大值為a，最小值為1-$\frac{1}{a}$，
由a-（1-$\frac{1}{a}$）=$\frac{3}{2}$，解得a=2（$\frac{1}{2}$舍去）；
當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在[0，1]遞減，
即有f（x）∈[a，1]；
f（x）在[-1，0）遞增，可得f（x）∈[1-$\frac{1}{a}$，1）；
此時f（x）的最大值為1，最小值為1-$\frac{1}{a}$，
由1-（1-$\frac{1}{a}$）=$\frac{3}{2}$，解得a=$\frac{2}{3}$．
綜上可得a=2或$\frac{2}{3}$．
故答案為：2或$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用分類討論的思想方法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．