Question

18．已知函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-x+2}{x-1}$求
（1）當(dāng)x＞1時(shí)，求最值；
（2）當(dāng)x＜1時(shí)，求最值；
（3）當(dāng)2≤x≤3時(shí)，求最值．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)變形，由基本不等式即可得到最小值；
（2）將函數(shù)變形，注意x＜1，由基本不等式即可得到最大值；
（3）運(yùn)用基本不等式可得最小值，再由端點(diǎn)處的函數(shù)值，即可得到最大值．

解答 解：（1）函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-x+2}{x-1}$=x+$\frac{2}{x-1}$（x＞1）
=x-1+$\frac{2}{x-1}$+1≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{2}{x-1}}$+1
=1+2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1+$\sqrt{2}$，函數(shù)取得最小值1+2$\sqrt{2}$；
（2）函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-x+2}{x-1}$=x+$\frac{2}{x-1}$（x＜1）
=x-1+$\frac{2}{x-1}$+1≤-2$\sqrt{（x-1）•\frac{2}{x-1}}$+1=1-2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1-$\sqrt{2}$，函數(shù)取得最大值1-2$\sqrt{2}$；
（3）函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-x+2}{x-1}$=x+$\frac{2}{x-1}$（2≤x≤3）
=x-1+$\frac{2}{x-1}$+1≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{2}{x-1}}$+1
=1+2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1+$\sqrt{2}$∈[2，3]，函數(shù)取得最小值1+2$\sqrt{2}$；
當(dāng)x=2時(shí)，y=3；當(dāng)x=3時(shí)，y=4．
則函數(shù)的最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意滿足的條件：一正二定三等，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．