Question

14．已知圓C：（x-2）²+（y-3）²=4外的有一點(diǎn)P（4，-1），過點(diǎn)P作直線l．
（1）當(dāng)直線l過圓心C時(shí)，求直線l的方程；
（2）當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，求直線l的方程；
（3）當(dāng)直線l的傾斜角為135°時(shí)，求直線l被圓C所截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）圓C的圓心C（2，3），半徑r=2，P（4，-1），過點(diǎn)P作直線l，當(dāng)直線l過圓心C時(shí)，先求出直線l的斜率k=-2，由此能求出直線l的方程．
（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=4，直線l與圓C相切；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為kx-y-k-1=0，則$\frac{{|{2k-3-4k-1}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=2$，求出k，由此能求出直線l的方程．
（3）當(dāng)直線l的傾斜角為135°時(shí)，直線l的斜率k′=tan135°=-1，由此能求出直線l的方程．

解答 解：（1）圓C：（x-2）²+（y-3）²=4的圓心C（2，3），半徑r=2，
P（4，-1），過點(diǎn)P作直線l，當(dāng)直線l過圓心C時(shí)，
直線l的斜率為k=$\frac{-1-3}{4-2}=-2$，
∴直線l的方程為y+1=-2（x-4），即2x+y-7=0．
（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=4，直線l與圓C相切；
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為kx-y-k-1=0，
則$\frac{{|{2k-3-4k-1}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=2$，解得$k=-\frac{3}{4}$，
∴直線l的方程為3x+4y-8=0，
綜上：直線l的方程為x=4或3x+4y-8=0．
（3）當(dāng)直線l的傾斜角為135°時(shí)，直線l的斜率k′=tan135°=-1，
直線l的方程為：y+1=-（x-4），即x+y-3=0．

點(diǎn)評 本題考查直線方程的求法，考查圓、直線方程、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．