Question

2．已知拋物線y=ax²（a＞0）上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B（不在原點(diǎn)），滿足$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，若存在定點(diǎn)M，使得$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，且λ+μ=1，則M坐標(biāo)為 （　�。�

• A． （{0，-a}）
• B． （{0，a}）
• C． （$\frac{1}{a}$，0}）
• D． （0，$\frac{1}{a}$）

Answer 1

分析 由已知運(yùn)用向量共線定理可得A，B，M三點(diǎn)共線，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁=ax₁²，y₂=ax₂²，由此利用點(diǎn)差法求出直線AB過(guò)定點(diǎn)（0，$\frac{1}{a}$），可求M點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：由$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，且λ+μ=1，
得$\overrightarrow{OM}$=$λ\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$，
即$\overrightarrow{BM}$=λ$\overrightarrow{BA}$，
∴A，B，M三點(diǎn)共線，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁=ax₁²，y₂=ax₂²，
兩式相減，得y₁-y₂=a（x₁+x₂）（x₁-x₂），
∴k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{a{{x}_{1}}^{2}-a{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=a（x₁+x₂），
∴直線AB方程為y-y₁=a（x₁+x₂）（x-x₁），
即y=a（x₁+x₂）（x-x₁）+y₁=a（x₁+x₂）x-ax₁²-ax₁x₂+ax₁²
=a（x₁+x₂）x-ax₁x₂，①
∵$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+a²x₁²x₂²=0，∴a²x₁x₂=-1，②
把②代入①，得y=a（x₁+x₂）x+$\frac{1}{a}$，
∴直線AB過(guò)定點(diǎn)（0，$\frac{1}{a}$），M點(diǎn)坐標(biāo)是（0，$\frac{1}{a}$）．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，同時(shí)考查平面向量的共線定理和向量垂直的條件，以及直線的斜率公式，具有一定的運(yùn)算量，屬于中檔題．