Question

8．設定義在R上的奇函數y=f（x），滿足對任意t∈R都有f（t）=f（1-t），且$x∈[{0，\frac{1}{2}}]$時，f（x）=-x²，則$f（{\frac{3}{2}}）$的值等于（　�。�

• A． $\frac{9}{4}$
• B． $-\frac{9}{4}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $-\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 根據已知可得函數y=f（x）是周期為2的周期函數，結合$x∈[{0，\frac{1}{2}}]$時，f（x）=-x²，可得答案．

解答 解：∵函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，且f（t）=f（1-t），
∴f（x+2）=f[1-（x+2）]=f（-x-1）=-f（x+1）=-f[1-（x+1）]=-f（-x）=f（x），
即函數y=f（x）是周期為2的周期函數，
故f（$\frac{3}{2}$）=f（$-\frac{1}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$），
又∵$x∈[{0，\frac{1}{2}}]$時，f（x）=-x²，
∴f（$\frac{3}{2}$）=f（$-\frac{1}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$）=$（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
故選：C．

點評 本題考查的知識點是函數的奇偶性，函數的對稱性，函數的周期性，函數求值，根據已知分析出函數y=f（x）是周期為2的周期函數，是解答的關鍵．