Question

【題目】已知的直角頂點(diǎn)在軸上，點(diǎn)，為斜邊的中點(diǎn)，且平行于軸.

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為.以為直徑的圓交軸于、，記此圓的圓心為，，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1).

(2).

【解析】分析：(1) 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，表示點(diǎn)D,A坐標(biāo)，再根據(jù) 列方程解得點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式得圓心坐標(biāo)，解得半徑，再根據(jù)垂徑定理得，最后根據(jù)函數(shù)值域得最小值，即的最大值.

詳解：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

，，

由，得，即，

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至原點(diǎn)時(shí)，與重合，不合題意舍去.

所以，軌跡的方程為.

（2）依題意，可知直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，圓心的坐標(biāo)為.

由，可得，∴，.

∴，∴.

∴圓的半徑 .

過圓心作于點(diǎn)，則.

在中， ，

當(dāng)，即垂直于軸時(shí)，取得最小值為，取得最大值為，

所以，的最大值為.