Question

19．已知點(diǎn)A（1-m，0），B（1+m，0），若圓C：x²+y²-8x-8y+31=0上存在一點(diǎn)P使得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0，則正實(shí)數(shù)m的最小值為4．

Answer 1

分析 由題意：A，B兩點(diǎn)在x軸上，圓心（4，4），半徑r=1，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4+cosθ，4+sinθ）
利用向量得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0，直線PA，PB斜率乘積等于-1，建立關(guān)系，在求其正實(shí)數(shù)m的最小值．

解答 解：點(diǎn)A（1-m，0），B（1+m，0），∴A，B兩點(diǎn)在x軸上，
由圓C：x²+y²-8x-8y+31=0，可知圓心（4，4），半徑r=1，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4+cosθ，4+sinθ）
根據(jù)題意，向量得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0，直線PA，PB斜率乘積等于-1．
即有：$\frac{4+sinθ}{4+cosθ+m-1}•\frac{4+sinθ}{4+cosθ-1-m}=-1$，
化簡(jiǎn)：（4+sinθ）²=m²-（3+cosθ）²
26+10sin（θ+φ）=m²
當(dāng)10sin（θ+φ）取得最小值-1時(shí)，m取得值±4，
那么：正實(shí)數(shù)m的最小值4．
故答案為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的關(guān)系，動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題，可以利用參數(shù)方程，借用三角函數(shù)的有界限來(lái)求其范圍．屬于基礎(chǔ)題．