Question

13．已知x₁，x₂是方程e^-x+2=|lnx|的兩個(gè)解，則（　�。�

• A． 0＜x₁x₂＜$\frac{1}{e}$
• B． $\frac{1}{e}$＜x₁x₂＜1
• C． 1＜x₁x₂＜e
• D． x₁x₂＞e

Answer 1

分析 利用函數(shù)與方程的關(guān)系，將方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的和指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進(jìn)行推理即可．

解答 解：設(shè)y=e^-x+2，y=|lnx|，
分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖：
不妨設(shè)x₁＜x₂，
則由圖象知0＜x₁＜1，x₂＞1，
則${e}^{-{x}_{1}}$+2=|lnx₁|=-lnx₁，
${e}^{{-x}_{2}}$+2=|lnx₂|=lnx₂，
兩式相減得${e}^{{-x}_{2}}$-${e}^{-{x}_{1}}$=lnx₂+lnx₁=ln（x₁x₂）
∵y=e^-x為減函數(shù)，
∴${e}^{{-x}_{2}}$＜${e}^{-{x}_{1}}$，即${e}^{{-x}_{2}}$-${e}^{-{x}_{1}}$=ln（x₁x₂）＜0，
則0＜x₁x₂＜1，
∵2＜lnx₂＜-lnx₁＜3，
∴-3＜lnx₁＜-2，可得$\frac{1}{{e}^{3}}$＜x₁＜$\frac{1}{{e}^{2}}$，
e²＜x₂＜e³，
則$\frac{1}{{e}^{3}}$•e²＜x₁x₂＜$\frac{1}{{e}^{2}}$•e³，
即$\frac{1}{e}$＜x₁x₂＜e，
∵0＜x₁x₂＜1，
綜上$\frac{1}{e}$＜x₁x₂＜1；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的概念，函數(shù)零點(diǎn)和方程解的關(guān)系，方程f（x）=g（x）的解和函數(shù)f（x）與g（x）交點(diǎn)的關(guān)系，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．利用數(shù)形結(jié)合結(jié)合對(duì)數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．