Question

17．如圖所示，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M是邊OA的中點(diǎn)，G是△ABC的重心，用基向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$表示向量$\overrightarrow{MG}$的表達(dá)式為$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$．

Answer 1

分析 根據(jù)所給的圖形和一組基底，從起點(diǎn)O出發(fā)，把不是基底中的向量，用是基底的向量來表示，就可以得到結(jié)論．

解答 解：延長AG交BC與點(diǎn)N，則N是BC的中點(diǎn)，
$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$-2$\overrightarrow{OA}$），
$\overrightarrow{MG}$=$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$-2$\overrightarrow{OA}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$．

點(diǎn)評 本題考查向量的基本定理及其意義，解題時(shí)注意方法，即從要表示的向量的起點(diǎn)出發(fā)，沿著空間圖形的棱走到終點(diǎn)，若出現(xiàn)不是基底中的向量的情況，再重復(fù)這個(gè)過程．