Question

18．91⁹¹除以100的余數是      （　　）

• A． 1
• B． 9
• C． 11
• D． 91

Answer 1

分析 利用二項式定理展開91⁹¹，可得展開式中，除了最后一項9⁹¹外，其余的項都能被100整除，故91⁹¹除以10的余數是 9⁹¹．再用二項式定理展開 9⁹¹=（10-1）⁹¹，可得9⁹¹=909=9×100+9，從而得到答案．

解答 解：由于91⁹¹=（100-9）⁹¹=C₉₁⁰•100⁹¹•（-9）⁰+C₉₁¹•100⁹⁰•（-9）¹+…+C₉₁⁹¹•100⁰•（-9）⁹¹，
在此展開式中，除了最后一項外，其余的項都能被100整除，故91⁹²除以100的余數等價于C₉₁⁹¹•100⁰•（-9）⁹¹=-9⁹¹除以100的余數，
而 9⁹¹=（10-1）⁹¹=C₉₁⁰•10⁹¹•（-1）⁰+C₉₁¹•10⁹⁰•（-1）¹+…+C₉₁⁹¹•10⁰•（-1）⁹¹，
故9⁹¹除以100的余數等價于C₉₁⁹⁰•10¹•（-1）⁹⁰+C₉₁⁹¹•10⁰•（-1）⁹¹除以100的余數，
而C₉₁⁹⁰•10¹•（-1）⁹⁰+C₉₁⁹¹•10⁰•（-1）⁹¹=909=9×100+9，
∴9⁹¹除以100的余數是9，-9⁹¹除以100的余數是91，
故91⁹¹除以100的余數是91，
故選：D

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．