Question

19．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=2，BC=4，E為線段AB上的動點（異于A、B），EF∥AD交CD于點F，沿EF折疊使二面角A-EF-B為直二面角．
（I）在線段BC上是否存在點M，使DM∥面AEB？若存在，則求出BM的長；若不存在，則說明理由；
（Ⅱ）若直線AC與面DCF所成的角為θ，求sinθ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）假設(shè)在線段BC上存在點M，使DM∥面AEB，則DM∥AB，從而四邊形ABMD是平行四邊形，由此能求出BM的長．
（Ⅱ）以E為原點，EA為x軸，EF為y軸，EA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出sinθ的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）假設(shè)在線段BC上存在點M，使DM∥面AEB，則DM∥AB即可，
∵DM∥AB，AB?平面ABE，DM?平面ABE，
∴DM∥面AEB，
∵AD∥BC，M∈BC，∴AD∥BM，又DM∥AB，
∴四邊形ABMD是平行四邊形，
∴BM=AD=2．
（Ⅱ）以E為原點，EA為x軸，EF為y軸，EA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)BE=a，則EA=2-a，
∴B（a，0，0），A（0，0，2-a），C（a，4，0），E（0，0，0），F(xiàn)（0，4-a，0），D（0，2，2-a），
$\overrightarrow{AC}$=（a，4，a-2），$\overrightarrow{DC}$=（a，2，a-2），$\overrightarrow{DF}$=（0，2-a，a-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{ax+2y+（a-2）z=0}\\{（2-a）y+（a-2）z=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1），
∴cos＜$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}$＞=$\frac{-a+4+a-2}{\sqrt{3}•\sqrt{{a}^{2}+16+（a-2）^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}•\sqrt{2{a}^{2}-4a+20}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}•\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}-2a+10}}$，
∵直線AC與面DCF所成的角為θ，
∴sinθ=cos＜$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}•\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}-2a+10}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}•\sqrt{（a-1）^{2}+9}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{9}$．
∴$0＜sinθ≤\frac{\sqrt{6}}{9}$．

點評 本題考查線段長的求法，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．