Question

19．設(shè)整數(shù)n≥2，若0＜a₁≤a₂≤a₃≤…≤a_n，a₁a₂a₃…a_n≤x，求證：a₁a₂a₃…a_n-1≤x${\;}^{1-\frac{1}{n}}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用換元法，可令y=a₁a₂a₃…a_n，由不等式的性質(zhì)可得y=a₁a₂a₃…a_n≤a_nⁿ，可得a_n≥y${\;}^{\frac{1}{n}}$，即可得證．

解答 證明：令y=a₁a₂a₃…a_n，
則y≤x，
由0＜a₁≤a₂≤a₃≤…≤a_n，可得：
y=a₁a₂a₃…a_n≤a_nⁿ，
可得a_n≥y${\;}^{\frac{1}{n}}$，
即有a₁a₂a₃…a_n-1=$\frac{y}{{a}_{n}}$≤$\frac{y}{{y}^{\frac{1}{n}}}$=y${\;}^{1-\frac{1}{n}}$≤x${\;}^{1-\frac{1}{n}}$．
則a₁a₂a₃…a_n-1≤x${\;}^{1-\frac{1}{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用換元法和不等式的性質(zhì)，考查推理能力，屬于中檔題．