17.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都等于1,且兩兩夾角都為45°,則|$\overrightarrow{A{C}_{1}}$|=$\sqrt{3+3\sqrt{2}}$.

分析 設(shè) $\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$,$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{c}$,則兩兩夾角為45°,且模均為1.根據(jù)向量加法的平行四邊形法則,我們易得 $\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$.我們易根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算法則,求出AC1的模,即AC1的長(zhǎng);

解答 解:設(shè) $\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$,$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{c}$,則兩兩夾角為45°,且模均為1.
 $\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$.
∴|$\overrightarrow{A{C}_{1}}$|2=( $\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$)2
=3+6×1×1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3+3$\sqrt{2}$,
∴|AC1|=$\sqrt{3+3\sqrt{2}}$,即AC1的長(zhǎng)為:$\sqrt{3+3\sqrt{2}}$.
故答案為:$\sqrt{3+3\sqrt{2}}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間兩點(diǎn)之間的距離運(yùn)算,根據(jù)已知條件,構(gòu)造向量,將空間兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為向量模的運(yùn)算,是解答本題的關(guān)鍵.

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