Question

3．已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，且$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{OM}$=10．
（Ⅰ）求此拋物線C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)（4，0）做直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)拋物線C：y²=2px（p＞0），點(diǎn)M（2，y₀），代入拋物線方程，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可求得p=2，進(jìn)而得到拋物線方程；
（Ⅱ）討論當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，求出A，B坐標(biāo)，可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=k（x-4），聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合向量垂直的條件，化簡整理即可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)拋物線C：y²=2px（p＞0），點(diǎn)M（2，y₀），
則有y₀²=4p，
∵F（$\frac{p}{2}$，0），∴$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{OM}$=4-p+y₀²=4+3p=10，
∴p=2，
所以拋物線C的方程為y²=4x；
（Ⅱ）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，此時(shí)l：x=4，
解得A（4，4），B（4，-4），滿足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0；
當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=k（x-4），
聯(lián)立方程，消去y可得k²x²-（8k²+4）x+16k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=16，
則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂-4k²（x₁+x₂）+16k²
=16（1+k²）-32k²-16+16k²=0，
綜上所述，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的方程的運(yùn)用，以及直線和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，和向量垂直的條件，屬于中檔題．