Question

8．已知f（x）=$\frac{{e}^{x}}{1+a{x}^{2}}$，其中a為正實(shí)數(shù)．
（1）當(dāng)a=$\frac{4}{3}$時(shí)，求f（x）的極值點(diǎn)，并指出是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)；
（2）若f（x）為實(shí)數(shù)集R上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)數(shù)，列表即可得解；（2）f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)數(shù)在R上恒大于等于零或恒小于等于零．

解答 解：（1）當(dāng)a=$\frac{4}{3}$時(shí)，$f（x）=\frac{{e}^{x}}{1+\frac{4}{3}{x}^{2}}$，∴$f′（x）=\frac{{e}^{x}（2x-3）（2x-1）}{3（1+\frac{4}{3}{x}^{2}）^{2}}$，
令f′（x）=0，得${x}_{1}=\frac{1}{2}，{x}_{2}=\frac{3}{2}$．

x	（-$-∞，\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	$（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$	$\frac{3}{2}$	$（\frac{3}{2}，+∞）$
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

∴${x}_{1}=\frac{3}{2}$是極小值點(diǎn)，${x}_{2}=\frac{1}{2}$是極大值點(diǎn)；
（2）$f′（x）=\frac{{e}^{x}（a{x}^{2}-2ax+1）}{（1+a{x}^{2}）^{2}}$
若f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，f′（x）在R上不變號(hào)
∵a＞0，∴ax²-2ax+1≥0在R上恒成立，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4{a}^{2}-4a=4a（a-1）≤0}\end{array}\right.$ 解得：0＜a≤1．
∴實(shí)數(shù)a 的取值范圍是（0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用．考查了轉(zhuǎn)化的思想方法．在解題時(shí)應(yīng)注意這種思想方法的運(yùn)用．