Question

20．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C：y²=4x，設(shè)點A（-t，0），B（t，0）（t＞0），過點B的直線與拋物線C交于P，Q兩點，（P在Q的上方）．
（1）若t=1，直線PQ的傾斜角為$\frac{π}{4}$，求直線PA的斜率；
（2）求證：∠PAO=∠QAO．

Answer 1

分析 （1）由題意寫出直線PQ的方程，和拋物線聯(lián)立，求得P的坐標，代入斜率公式得答案；
（2）設(shè)直線PQ的方程為x=my+t，聯(lián)立直線方程和拋物線方程求得P，Q的坐標，由斜率公式求得k_PA=-k_QA，從而得到∠PAO=∠QAO．

解答 （1）解：若t=1，直線PQ的傾斜角為$\frac{π}{4}$，則直線PQ的方程為y=x-1，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得P（$3+2\sqrt{2}，2+2\sqrt{2}$），
∵A（-1，0），∴直線PA的斜率${k}_{PA}=\frac{2+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}-（-1）}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）證明：∵直線PQ過點B（t，0），且與拋物線相交于P，Q兩點，
∴可設(shè)直線PQ的方程為x=my+t，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+t}\end{array}\right.$，得y²-4my-4t=0．
解得：y=2m$±2\sqrt{{m}^{2}+t}$，
于是P（$2{m}^{2}+2m\sqrt{{m}^{2}+t}+t，2m+2\sqrt{{m}^{2}+t}$），
Q（$2{m}^{2}-2m\sqrt{{m}^{2}+t}+t，2m-2\sqrt{{m}^{2}+t}$），
∴直線PA的斜率${k}_{PA}=\frac{2m+2\sqrt{{m}^{2}+t}}{2{m}^{2}+2m\sqrt{{m}^{2}+t}+t-（-t）}$=$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}+t}}{{m}^{2}+m\sqrt{{m}^{2}+t}+t}=\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+t}}$，
同理，直線QA的斜率${k}_{QA}=\frac{2m-2\sqrt{{m}^{2}+t}}{2{m}^{2}-2m\sqrt{{m}^{2}+t}+t-（-t）}=-\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+t}}$，
可得k_PA=-k_QA，則：∠PAO=∠QAO．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查了直線與拋物線位置關(guān)系的應用，考查計算能力，是中檔題．