Question

12．若函數(shù)f（x）=4^x+a•2^x+a+1在R上有且只有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是a=2-2$\sqrt{2}$或a≤-1．

Answer 1

分析 利用換元法結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為y=t²+a•t+a+1=0，只有一個正根，根據(jù)一元二次函數(shù)和一元二次方程之間的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：f（x）=4^x+a•2^x+a+1=（2^x）²+a•2^x+a+1，
設(shè)t=2^x，則t＞0，
則函數(shù)等價為y=t²+a•t+a+1，若函數(shù)f（x）=4^x+a•2^x+a+1在R上有且只有一個零點，等價為y=t²+a•t+a+1=0，只有一個正根，
若判別式△=0，則a²-4（a+1）=0，且t=-$\frac{a}{2}$＞0，
即a²-4a-4=0，且a＜0，
得a=2+2$\sqrt{2}$（舍）或a=2-2$\sqrt{2}$，
若判別式△＞0，設(shè)h（t）=t²+a•t+a+1，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{-\frac{a}{2}＜0}\\{f（0）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{-\frac{a}{2}≥0}\\{f（0）≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞2+2\sqrt{2}或a＜2-2\sqrt{2}}\\{a＞0}\\{a＜-1}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{a＞2+2\sqrt{2}或a＜2-2\sqrt{2}}\\{a≤0}\\{a≤-1}\end{array}\right.$，②
①無解，②得a≤-1，
綜上a=2-2$\sqrt{2}$或a≤-1，
故答案為：a=2-2$\sqrt{2}$或a≤-1

點評 本題考查函數(shù)的零點與對應(yīng)的方程的跟的關(guān)系，函數(shù)的零點就是對應(yīng)方程的根．注意換元法的應(yīng)用．