Question

9．已知在△ABC中，A（-2，0），B（0，2），C（cosθ，-1+sinθ）（θ為參數(shù)），求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 分別得出直線的方程、圓的普通方程，求出圓心到直線的距離，進(jìn)而得出圓上的點(diǎn)到直線的最大距離，即可得出三角形面積的最大值．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$=（-2，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，2），
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=（2，2），
|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
直線AB的方程為：$\frac{x}{-2}$+$\frac{y}{2}$=1，化為x-y+2=0．
由C（cosθ，-1+sinθ）（θ為參數(shù)），化為（y+1）²+x²=1，
∴圓心C（0，-1）到直線AB的距離d=$\frac{|0+1+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，
∴圓上的點(diǎn)到直線的最大距離h=d+r=$\frac{3}{\sqrt{2}}$+1．
∴△ABC面積的最大值S=$\frac{1}{2}$|AB|•h=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×（$\frac{3}{\sqrt{2}}$+1）=3+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、圓上的點(diǎn)到直線的最大距離、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．