Question

記max{a，b}為兩數(shù)a，b的最大值，當(dāng)正數(shù)x，y變化時(shí)，t=max{

1

x

，

2

y

，4x²+y²}的最小值為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令y=kx，代入t=max{

1

x

，

2

y

，4x2+y2}，可得t=max{

1

x

，

2

k

•

1

x

，(4+k2)x2}，然后通過(guò)比較三個(gè)函數(shù)，得到t的最小值．

解答： 解：令y=kx（k＞0），代入t=max{

1

x

，

2

y

，4x2+y2}，可得t=max{

1

x

，

2

k

•

1

x

，(4+k2)x2}，
當(dāng)

2

k

≥1，即0＜k≤2時(shí)，顯然

2

k

•

1

x

≥

1

x

，做出y=

2 k

x

與y=（4+k²）x²的圖象可知，t在交點(diǎn)處取得最小值．
令

2 k

x

=（4+k²）x²得x=

3	2 4k+k3

，代入y=

2 k

x

得y=

2

k

3	2 4k+k3

=

2

3 2 4 k2 +1

．易知當(dāng)k=2時(shí)，得最小值為2；

當(dāng)

2

k

≤1即k≥2時(shí)，顯然

1

x

≥

2

k

•

1

x

，做出y=

1

x

與y=（4+k²）x²的圖象可知，t在交點(diǎn)處取得最小值．
令

1

x

=(4+k2)x2得x=

3	1 4+k2

，代入y=x得y=

1

x

=

3	4+k2

，當(dāng)k=2時(shí)，得最小值為2．

綜上，t的最小值為2．

點(diǎn)評(píng)：這個(gè)題意思是清楚，就是求幾個(gè)互相牽制的函數(shù)里的最大值中的最小值，可以猜出來(lái)x=

1

2

，y=1時(shí)最小，思路的話應(yīng)該是用y=kx先統(tǒng)一成x的函數(shù)，最后討論各種情況