Question

（文科）如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、Q分別是棱A₁D₁和AD的中點(diǎn)，R為PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：QR∥平面PCD；
（Ⅱ）求直線BQ與平面CQR所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）以Q為原點(diǎn)，QA為x軸，QB為y軸，QP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明QR⊥平面PBC．
（Ⅱ）求出平面RQC的法向量和平面QCB的法向量，由此能求出二面角R-QC-B的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：以Q為原點(diǎn)，QA為x軸，QB為y軸，QP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意得Q（0，0，0），P（0，0，2

3

），
B（0，2

3

，0），R（0，

3

，

3

），
C（-4，2

3

，0），

QR

=（0，

3

，

3

），

PB

=（0，2

3

，-2

3

），

PC

=（-4，2

3

，-2

3

），
∴

QR

•

PB

=0，

QR

•

PC

=0，
∴QR⊥PB，QR⊥PC，又PB∩PC=P，
∴QR⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：

QR

=（0，

3

，

3

），

QC

=（-4，2

3

，0），
設(shè)平面RQC的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • RQ = 3 y+ 3 z=0 n • RC =-4x+2 3 y=0

，
取y=-2

3

，得

n

=（3，-2

3

，2

3

），
又平面QCB的法向量

m

=（0，0，1），
∴cos＜

n

，

m

＞=

2 3

33

=

2 11

11

．
設(shè)二面角R-QC-B的平面角為θ，
則sinθ=

1-( 2 11 11 )2

=

77

11

，
∴二面角R-QC-B的正弦值為

77

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．