【題目】已知橢圓E:的一個焦點為,長軸與短軸的比為2:1.直線與橢圓E交于PQ兩點,其中為直線的斜率.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若以線段PQ為直徑的圓過坐標原點O,問:是否存在一個以坐標原點O為圓心的定圓O,不論直線的斜率取何值,定圓O恒與直線相切?如果存在,求出圓O的方程及實數(shù)m的取值范圍;如果不存在,請說明理由.
【答案】(1) (2)存在,.的取值范圍是
【解析】
(1)根據(jù)題意直接計算出得到答案.
(2)設直線OP的方程為:點的坐標為,則,聯(lián)立方程組,設坐標原點O到直線的距離為d,則有,得到,計算得到答案.
(1)由已知得:解得:橢圓E的方程為
(2)假設存在定圓O,不論直線的斜率k取何值時,定圓O恒與直線相切.
這時只需證明坐標原點O到直線的距離為定值即可.
設直線OP的方程為:點的坐標為,則,
聯(lián)立方程組
①
以線段PQ為直徑的圓過坐標原點O,
,直線OQ的方程為:
在①式中以換t,得②
又由知:
設坐標原點O到直線的距離為d,則有
又當直線OP與軸重合時,此時
由坐標原點O到直線的距離為定值知,所以存在定圓O,不論直線的斜率k取何值時,定圓O恒與直線相切,定圓O的方程為:.
直線與軸交點為,且點不可能在圓O內,又當k=0時,直線與定圓O切于點,所以的取值范圍是
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【題目】設函數(shù), .
(1)當時, 在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(2)當時,若函數(shù)在上恰有兩個不同的零點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知橢圓C:l(a>b>0)經(jīng)過點(,1),且離心率e.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l與橢圓C相交于AB兩點,且滿足∠AOB=90°(O為坐標原點),求|AB|的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列的前項和為,滿足,且.正項數(shù)列滿足,其前7項和為42.
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2)令,數(shù)列的前項和為,若對任意正整數(shù),都有,求實數(shù)的取值范圍;
(3)將數(shù)列,的項按照“當為奇數(shù)時,放在前面;當為偶數(shù)時,放在前面”的要求進行排列,得到一個新的數(shù)列:,,,,,,,,,,,…,求這個新數(shù)列的前項和.
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【題目】如圖,已知為等邊三角形,為等腰直角三角形,.平面平面ABD,點E與點D在平面ABC的同側,且,.點F為AD中點,連接EF.
(1)求證:平面ABC;
(2)求證:平面平面ABD.
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【題目】如圖1,在等腰中,,,分別為,的中點,為的中點,在線段上,且。將沿折起,使點到的位置(如圖2所示),且。
(1)證明:平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值
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【題目】設定義在上的函數(shù)滿足:對任意的,當時,都有.
(1)若,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若為周期函數(shù),證明:是常值函數(shù);
(3)若
①記,求數(shù)列的通項公式;
②求的值.
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【題目】橢圓C:過點M(2,0),且右焦點為F(1,0),過F的直線l與橢圓C相交于A、B兩點.設點P(4,3),記PA、PB的斜率分別為k1和k2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如果直線l的斜率等于-1,求出k1k2的值;
(3)探討k1+k2是否為定值?如果是,求出該定值;如果不是,求出k1+k2的取值范圍.
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