(2012•泰安二模)給出下列三個命題:
①若直線l過拋物線y=2x2的焦點,且與這條拋物線交于A,B兩點,則|AB|的最小值為2;
②雙曲線C:
x2
16
-
y2
9
=-1
的離心率為
5
3
;
③若C1x2+y2+2x=0,⊙C2x2+y2+2y-1=0,則這兩圓恰有2條公切線;
④若直線l1:a2x-y+6=0與直線l2:4x-(a-3)+9-0互相垂直,則a=-1.
其中正確命題的序號是
②③
②③
.(把你認(rèn)為正確命題的序號都填上)
分析:①利用|AB|的最小值為拋物線的通徑2p,進行判斷.
②先將雙曲線方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式,再利用其幾何性質(zhì)求出離心率即可進行判斷.
③求出兩個圓的圓心和半徑,再求出圓心距,由兩圓的圓心距等于
2
,大于兩圓的半徑之差,小于兩圓的半徑之和,故兩圓相交,從而得出結(jié)論.
④由直線垂直的等價條件求出兩直線垂直時a的值,再判斷其是否成立.
解答:解:①∵過拋物線y=2x2的焦點,且與這條拋物線交于A,B兩點,則|AB|的最小值為拋物線的通徑2p,由拋物線y=2x2
的方程即x2=
1
2
y 知,p=
1
4
,2p=
1
2
,則|AB|的最小值為
1
2
,故①不正確.
②雙曲線C:
x2
16
-
y2
9
=-1
y2
9
-
x2
16
=1

a=3,b=4,c=5,∴它的離心率為
5
3
;正確.
③∵⊙C1:x2+y2+2x=0,即  (x+1)2+y2=1,表示圓心為(-1,0),半徑等于1的圓.
⊙C2:x2+y2+2y-1=0 即,x2+(y+1)2=2,表示圓心為(0,-1),半徑等于
2
的圓.
兩圓的圓心距等于
2
,大于兩圓的半徑之差,小于兩圓的半徑之和,故兩圓相交,故兩圓的公切線
由2條,故③正確.
④當(dāng)直線a2x-y+6=0與4x-(a-3)y+9=0互相垂直時,則有4a2+(a-3)=0,解得a=-1或
3
4
,故錯.
故答案為:②③.
點評:本題考查直線、拋物線、雙曲線、圓的性質(zhì),兩圓的位置關(guān)系,掌握圓錐曲線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
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5
2
)
=
-
1
2
-
1
2

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AE
AF
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π
2
)
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π
6
,0)
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CD
在x軸上的投影為
π
12
,則ω,?的值為(  )

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1
2
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