【題目】如圖,在四面體中,E是線段的中點(diǎn),,.

1)證明:;

2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】1)證明見(jiàn)解析;(2.

【解析】

1)取線段的中點(diǎn),連接,.證明.推出平面,然后證明

2)解法一:令,點(diǎn)為原點(diǎn),射線、、分別為軸、軸、軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.求出平面、平面的法向量,利用空間向量的數(shù)量積求解平面與平面所成銳二面角的余弦值.

解法二:令,取中點(diǎn),則,,說(shuō)明為二面角的平面角,利用余弦定理轉(zhuǎn)化求解,平面與平面所成銳二面角的余弦值即可.

1)取線段的中點(diǎn)F,連接.

因?yàn)?/span>E是線段的中點(diǎn),所以.,所以.

因?yàn)?/span>,F的中點(diǎn),所以.

因?yàn)?/span>平面,平面,

所以平面,而平面,

所以.

2)解法一:

,則,

那么,

所以,所以.

,,故可以以點(diǎn)F為原點(diǎn),射線、、分別為x軸、y軸、z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.

,,

所以,,.

設(shè)平面、平面的法向量分別為,

,得,取,則.

,得,取,則.

所以.

故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

解法二:

,由已知及(1)可得:

所以,均為棱長(zhǎng)為a的正三角形.

中點(diǎn)G,則,,故為二面角的平面角,

中,,

由余弦定理可得:,

故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

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907

966

191

925

271

932

812

458

569

683

431

257

393

027

556

488

730

113

537

989

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A.B.C.D.

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