【題目】已知五面體中，四邊形為矩形，，，且二面角的大小為.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）先證平面，由線面平行的性質(zhì)定理得，所以由線面垂直的判定定理得平面，從而得A平面；

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線為軸，過平行于的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

（1）在五面體中，四邊形為矩形，所以，.

因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，

因?yàn)?/span>平面，平面平面，所以，又，故.因?yàn)?/span>，，，所以，

因?yàn)?/span>，所以平面，又，所以平面.

（2）過點(diǎn)作，垂足為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線為軸，過平行于的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求平面，平面的法向量，利用向量法求解即可.

則，，，，

，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即

，

不妨令，則.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即

不妨令，則，則.

由圖知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在中，已知、．

（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線，直線交邊于，交邊于，且與的面積之比為，求直線的方程；

（2）若是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的面積為，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．

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【題目】如圖是一旅游景區(qū)供游客行走的路線圖，假設(shè)從進(jìn)口開始到出口，每遇到一個(gè)岔路口，每位游客選擇其中一條道路行進(jìn)是等可能的.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁共名游客結(jié)伴到旅游景區(qū)游玩，他們從進(jìn)口的岔路口就開始選擇道路自行游玩，并按箭頭所指路線行走，最后到出口集中，設(shè)點(diǎn)是其中的一個(gè)交叉路口點(diǎn).

（1）求甲經(jīng)過點(diǎn)的概率；

（2）設(shè)這名游客中恰有名游客都是經(jīng)過點(diǎn)，求隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一次足球邀請(qǐng)賽共安排了支球隊(duì)參加，每支球隊(duì)預(yù)定的比賽場(chǎng)數(shù)分別是，，…，．若任兩支球隊(duì)之間至多安排了一場(chǎng)比賽，則稱是一個(gè)“有效安排”．證明：若是一個(gè)有效安排，且，則可去掉一支球隊(duì)，并重新調(diào)整各隊(duì)之間的對(duì)局情況，使也是一個(gè)有效安排．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】古希臘雅典學(xué)派算學(xué)家歐道克薩斯提出了“黃金分割”的理論，利用尺規(guī)作圖可畫出己知線段的黃金分割點(diǎn)，具體方法如下：（l）取線段AB＝2，過點(diǎn)B作AB的垂線，并用圓規(guī)在垂線上截取BC＝AB，連接AC；（2）以C為圓心，BC為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)D；（3）以A為圓心，以AD為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E．則點(diǎn)E即為線段AB的黃金分割點(diǎn)．若在線段AB上隨機(jī)取一點(diǎn)F，則使得BE≤AF≤AE的概率約為（　　）（參考數(shù)據(jù)：2.236）

A. 0.236B. 0.382C. 0.472D. 0.618

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】出租車幾何學(xué)是由十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)立的．在出租車幾何學(xué)中，點(diǎn)還是形如的有序?qū)崝?shù)對(duì)，直線還是滿足的所有組成的圖形，角度大小的定義也和原來一樣．直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)，，定義它們之間的一種“距離”：；到兩點(diǎn)P．Q“距離”相等的點(diǎn)的軌跡稱為線段PQ的“垂直平分線”．已知點(diǎn)、、，請(qǐng)解決以下問題：

（1）求線段上一點(diǎn)到原點(diǎn)的“距離”；

（2）寫出線段AB的“垂直平分線”的軌跡方程，并作出大致圖像；

（3）定義：若三角形三邊的“垂直平分線”交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)稱為三角形的“外心”．試判斷 的“外心”是否存在，如果存在，求出“外心”；如果不存在，說明理由．

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【題目】已知函數(shù)，若方程（為常數(shù)）有兩個(gè)不相等的根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

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【題目】橢圓的離心率是，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線與軸平行時(shí)，直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）在軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得直線變化時(shí)，總有？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知?jiǎng)訄AP恒過定點(diǎn)，且與直線相切．

（Ⅰ）求動(dòng)圓P圓心的軌跡M的方程；

（Ⅱ）正方形ABCD中，一條邊AB在直線y＝x＋4上，另外兩點(diǎn)C、D在軌跡M上，求正方形的面積．

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