Question

13．已知函數(shù)f（x）=mx-m-2lnx（m∈R）．
（1）當m=7時，求曲線y=f（x）在點（1，0）處的切線方程；
（2）若f（x）≥0恒成立，證明：當0＜x₁＜x₂時，$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{2}$＞（1-$\frac{1}{{x}_{1}}$）（x₂-x₁）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由點斜式方程可得切線的方程；
（2）根據(jù)若f（x）≥0恒成立，討論m的取值范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明不等式即可．

解答 解：（1）當m=7時，f（x）=7x-7-2lnx，
導(dǎo)數(shù)f′（x）=7-$\frac{2}{x}$，y=f（x）在點（1，0）處的切線斜率為k=5，
即有切線的方程為y=5x-5：
（2）證明：由f′（x）=m-$\frac{2}{x}$，知m≤0，
則f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞減，
∵f（1）=0，∴f（x）≥0不恒成立，
若m＞2，當x∈（$\frac{2}{m}$，1）時，f（x）單調(diào)遞增，f（x）＜f（1）=0，不合題意；
若0＜m＜2，當x∈（1，$\frac{2}{m}$）時，f（x）單調(diào)遞減，f（x）＜f（1）=0，不合題意；
若m=2，當x∈（0，1）上單調(diào)遞減，f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，
f（x）≥f（1）=0，符合題意．
故m=2時，且lnx≤x-1，（當且僅當x=1時取等號），
當0＜x₁＜x₂時，f（x₂）-f（x₁）=2[（x₂-x₁）-ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$]，
∵ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-1，∴f（x₂）-f（x₁）=2[（x₂-x₁）-ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$
＞2[（x₂-x₁）-（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-1）]=2（x₂-x₁）（1-$\frac{1}{{x}_{1}}$），
因此當0＜x₁＜x₂時，$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{2}$＞（1-$\frac{1}{{x}_{1}}$）（x₂-x₁）．

點評 本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，以及不等式的證明，注意運用單調(diào)性，綜合性較強，運算量較大，有一定的難度．