Question

3．已知雙曲線x²+ny²=1（n∈R）與橢圓$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$有相同的焦點，則該雙曲線的漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由橢圓的方程可得其橢圓的焦點坐標(biāo)，再由雙曲線的幾何性質(zhì)可得n＜0，且1+（-$\frac{1}{n}$）=4，解可得n的值，即可得雙曲線的方程，由雙曲線的幾何性質(zhì)，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，橢圓的方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$，其焦點在x軸上，
且c=$\sqrt{6-2}$=2，即焦點在坐標(biāo)為（±2，0），
若雙曲線x²+ny²=1的焦點在坐標(biāo)為（±2，0），
則有n＜0，且1+（-$\frac{1}{n}$）=4，
則n=-$\frac{1}{3}$，
則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
則其漸近線方程為：y=±$\sqrt{3}$x；
故答案為：y=±$\sqrt{3}$x．

點評 本題考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，注意先求出橢圓的焦點．