Question

如圖，在斜三棱柱中，側面，，，底面是邊長為的正三角形，其重心為點，是線段上一點，且．

（1）求證：側面；

（2）求平面與底面所成銳二面角的正切值．

 

Answer 1

（1）證明：連接并延長與交于點，則由題

意及相似關系可知點為的中點，所以三點共線，

從而可得，因此側面；

（2）．

【解析】

試題分析：（1）要證明直線側面，即證明平行于側面的某條直線，而由題意及相似關系易知，即可證明之；

（2）這問的關鍵是找出平面與底面所成二面角的平面角，由側面底面知，過點作的垂線與的延長線交于點，則平面，經(jīng)過點作的垂線與的延長線交于點，則，于是即為所求二面角的平面角，然后根據(jù)相似關系可求該二面角的平面角的正切值．

試題解析：（1）證明：連接并延長與交于點，則由題意及相似關系可知點為的中點，

所以三點共線，從而可得，因此側面．

（2）經(jīng)過點作的垂線與的延長線交于點，則平面，經(jīng)過點作的垂線與的延長線交于點，則，所以即為所求二面角的平面角且，則，并由相似關系得：，故，即為所求二面角的正切值．

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題；直線與平面平行的判定．