Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x+1}+a}{{2}^{x}+1}$（其中a為常數(shù)）是定義在R上的奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調性，并用定義證明；
（3）若（2^t+1）f（t）+m•4^t≥1對于任意實數(shù)t∈[1，2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)的定義求出a的值即可；（2）根據(jù)函數(shù)單調性的定義證明即可；（3）問題轉化為m≥$\frac{3{-2}^{t+1}}{{2}^{2t}}$對于任意實數(shù)t∈[1，2]恒成立，結合函數(shù)的單調性，從而求出m的范圍．

解答 解：（1）若函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x+1}+a}{{2}^{x}+1}$（其中a為常數(shù)）是定義在R上的奇函數(shù)，
則f（-x）=$\frac{{2}^{-x+1}+a}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{a{•2}^{x}+2}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{-2}^{x+1}-a}{{2}^{x}+1}$=-f（x），
∴a=-2；
（2）由（1）得：f（x）=$\frac{{2}^{x+1}-2}{{2}^{x}+1}$=2-$\frac{4}{{2}^{x}+1}$，
設x₁＞x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=2-$\frac{4}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-2+$\frac{4}{{2}^{{x}_{2}}+1}$
=$\frac{4{（2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{2}}+1）{（2}^{{x}_{1}}+1）}$，
∵x₁＞x₂，∴${2}^{{x}_{1}}$＞${2}^{{x}_{2}}$，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R單調遞增；
（3）若（2^t+1）f（t）+m•4^t≥1對于任意實數(shù)t∈[1，2]恒成立
?2^t+1-2+m•2^2t≥1對于任意實數(shù)t∈[1，2]恒成立
?m≥$\frac{3{-2}^{t+1}}{{2}^{2t}}$對于任意實數(shù)t∈[1，2]恒成立，
令h（t）=$\frac{3{-2}^{t+1}}{{2}^{2t}}$=3${（\frac{1}{{2}^{t}}-\frac{1}{3}）}^{2}$-$\frac{1}{3}$，
由t∈[1，2]得：$\frac{1}{{2}^{t}}$∈[$\frac{1}{4，}$，$\frac{1}{2}$]，
∴h（t）_max=h（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，
∴m≥-$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調性問題，考查函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．