Question

【題目】定義：如果數(shù)列的任意連續(xù)三項均能構(gòu)成一個三角形的三邊長，則稱為“三角形”數(shù)列，對于“三角形”數(shù)列，如果函數(shù)使得仍為一個“三角形”數(shù)列，則稱是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”，.

（1）已知是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，若是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”，求的取值范圍；

（2）已知數(shù)列的首項為2010，是數(shù)列的前項和，且滿足，證明是“三角形”數(shù)列；

（3）根據(jù)“保三角形函數(shù)的定義，對函數(shù)，和數(shù)列1，提出一個正確的命題，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；（3）詳見解析

【解析】

（1）求出的通項公式根據(jù)定義推出是三角形數(shù)列，再由的單調(diào)性及列出關(guān)于k的不等式求解即可；（2）由與的關(guān)系由所給等式求出的通項公式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性推出數(shù)列的單調(diào)性，因此證明即可證明是“三角形”數(shù)列；（3）函數(shù)是數(shù)列1，的“保三角形函數(shù)”，列出此結(jié)論所需條件求出k的范圍.

（1）顯然對任意正整數(shù)都成立，

即是三角形數(shù)列且是遞增數(shù)列，

因為，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，

由，得，，解得.

所以當(dāng)時，是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”；

（2）當(dāng)時，由，得，

兩式相減，得，所以，，

又也滿足上式，所以.

顯然，因為，所以是“三角形”數(shù)列；

（3）探究過程：函數(shù)是數(shù)列1，的“保三角形函數(shù)”，必須滿足三個條件：

①1，是三角形數(shù)列，所以，即；

②數(shù)列中的各項必須在定義域內(nèi)，即；

③是“三角形”數(shù)列.

由于是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，化簡得，解得.