Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足a_n+1=2S_n+6，且a₁=6．
（1）求a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)${b_n}=\frac{{2{a_n}}}{{（{3^n}-1）（{S_n}+2）}}$，證明：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

分析 （1）令n=1，由a₁=S₁，即可得到所求；
（2）將n換成n-1，兩式相減，再結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，計(jì)算即可得到所求；
（3）求出S_n，可得b_n，再由裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算即可得證．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₂=2S₁+6=2a₁+6=18，∴a₂=18；
（2）由a_n+1=2S_n+6①，得a_n=2S_n-1+6（n≥2）②
①-②：得a_n+1-a_n=2S_n-2S_n-1，
即a_n+1=3a_n（n≥2），
又a₁=6，a₂=18，所以a₂=3a₁，
∴數(shù)列{a_n}是以6為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，
∴${a_n}=6•{3^{n-1}}=2•{3^n}$；
（3）證明：由（2）得：${a_{n+1}}=2•{3^{n+1}}$，
故${S_n}=\frac{1}{2}{a_{n+1}}-3={3^{n+1}}-3$，${b_n}=\frac{{2{a_n}}}{{（{3^n}-1）（{S_n}+2）}}=\frac{{4•{3^n}}}{{（{3^n}-1）（{3^{n+1}}-1）}}=\frac{{2（{3^{n+1}}-1）-（{3^n}-1）}}{{（{3^n}-1）（{3^{n+1}}-1）}}=2（{\frac{1}{{{3^n}-1}}-\frac{1}{{{3^{n+1}}-1}}}）$
∴${b_1}+{b_2}+…+{b_n}=2（\frac{1}{{{3^1}-1}}-\frac{1}{{{3^2}-1}}+\frac{1}{{{3^2}-1}}-\frac{1}{{{3^3}-1}}+…+\frac{1}{{{3^n}-1}}-\frac{1}{{{3^{n+1}}-1}}）$
=$2•（\frac{1}{2}-\frac{1}{{{3^{n+1}}-1}}）＜1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和，主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．