Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項和T_n滿足a_n+1=2T_n+6，且a₁=6．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和S_n；
（3）證明：$\frac{1}{3•{S}_{1}}$+$\frac{1}{{3}^{2}•{S}_{2}}$+…$\frac{1}{{3}^{n}•{S}_{n}}$＜3．

Answer 1

分析 （1）運用數(shù)列的通項和前n項和的關系，以及等比數(shù)列的通項公式，即可得到；
（2）運用等比數(shù)列的求和公式計算即可得到；
（3）運用裂項相消求和方法，變形整理即可得證．

解答 解：（1）由a_n+1=2T_n+6①，得a_n=2T_n-1+6（n≥2）②
②-①：有a_n+1-a_n=2T_n-2T_n-1，
即a_n+1=3a_n（n≥2），
又a₁=6，由②有a₂=2T₁+6=2a₁+6=18，知a₂=3a₁，
∴數(shù)列{a_n}是以6為首項，公比為3的等比數(shù)列，
∴an=6•3^n-1=2•3ⁿ；    
（2）由（1）得：$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2}•\frac{1}{3^n}$，
得S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）=$\frac{1}{2}$•$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{{3}^{n}-1}{4•{3}^{n}}$，
（3）證明：∵$\frac{1}{{{3^n}•{S_n}}}=\frac{4}{{{3^n}-1}}=4\frac{{{3^{n+1}}-1}}{{（{3^n}-1）（{3^{n+1}}-1）}}=6•\frac{{2•{3^n}-\frac{2}{3}}}{{（{3^n}-1）（{3^{n+1}}-1）}}$$＜6•\frac{{2•{3^n}}}{{（{3^n}-1）（{3^{n+1}}-1）}}=6•（\frac{1}{{{3^n}-1}}-\frac{1}{{{3^{n+1}}-1}}）$，
∴$\frac{1}{{3•{S_1}}}+\frac{1}{{{3^2}•{S_2}}}+…\frac{1}{{{3^n}•{S_n}}}＜6[（\frac{1}{{{3^1}-1}}-\frac{1}{{{3^2}-1}}）+（\frac{1}{{{3^2}-1}}-\frac{1}{{{3^3}-1}}）+…+（\frac{1}{{{3^n}-1}}-\frac{1}{{{3^{n+1}}-1}}）]$
=$6•（\frac{1}{2}-\frac{1}{{{3^{n+1}}-1}}）＜3-\frac{6}{{{3^{n+1}}-1}}＜3$．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，同時考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，屬于中檔題．