Question

如圖，四棱柱A₁B₁C₁D₁-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，BC₁=B₁C，
（1）求證：平面DD₁C₁C⊥平面ABCD；
（2）設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AD，CC₁中點(diǎn)，求證：EF∥平面C₁AB．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）先證明BC⊥CD，又可證BC⊥CC₁  且有CD∩CC₁=C，BC?平面ABCD，從而有平面D₁DCC₁⊥平面AB⊥CD． 
（2）取棱BC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，可證EG∥平面C₁AB，又GF∥平面C₁AB，可得平面EF∥平面C₁AB，又由EF?平面EFG，即可證明EF∥平面C₁AB．

解答： 證明：（1）∵AB∥CD，∠ABC=90°，
∴∠BCD=90°，BC⊥CD…1分
∴在棱柱AC₁中，側(cè)面BB₁C₁C為平行四邊形，且BC₁=B₁C
∴四邊形BB₁C₁C為矩形，∴BC⊥CC₁ …3分
∵CD∩CC₁=C，∴BC⊥平面D₁DCC₁…5分
∵BC?平面ABCD，
∴平面D₁DCC₁⊥平面AB⊥CD…7分
（2）取棱BC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G
∵梯形ABCD中，EG為中位線，
∴EG∥AB
∵EG?平面C₁AB，
∴EG∥平面C₁AB…9分
∵在△CC₁B中，GF為中位線，∴GF∥BC₁
又∵GF?平面C₁AB，∴GF∥平面C₁AB，…11分
∵EG∩GF=G，∴平面EF∥平面C₁AB，…13分
又∵EF?平面EFG，∴EF∥平面C₁AB…14分

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，屬于基本知識(shí)的考查．