Question

12．已知函數(shù)f（x）=mx³-3x²+n-2（m≠0）．
（1）若f（x）在x=1處取得極小值1，求實(shí)數(shù)m，n的值；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)f（x）在x∈[-1，2]的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于m，n的方程組，解出檢驗(yàn)即可；
（2）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域是R，f′（x）=3mx（x-$\frac{2}{m}$），
（1）∵f（x）在x=1處取得極小值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1}\\{f′（1）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m-3+n-2=1}\\{3m-6=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=4}\end{array}\right.$，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；
（2）由（1）得：f′（x）=6x（x-1），
x∈（-1，0）∪（1，2）時(shí)，f′（x）＞0，
x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-1，0），（1，2）遞增，在（0，1）遞減，
∴f（x）_max=max{f（0），f（2）}，而f（0）=2，f（2）=6，
∴f（x）_max=f（2）=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了曲線的切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．