Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=

an

1+an

（n∈N⁺）
（1）分別求a₂，a₃，a₄的值．
（2）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式a_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用已知條件通過n=2，3，4，直接計(jì)算a₂，a₃，a₄的值，
（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，猜想的通{a_n}項(xiàng)公式，用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟直接證明即可．

解答： 解：（1）a2=

a1

1+a1

=

1

2

，a3=

a2

1+a2

=

1 2

1+ 1 2

=

1

3

，a4=

a3

1+a3

=

1 3

1+ 1 3

=

1

4

…（3分）
（2）猜想an=

1

n

(n∈N+)…（5分）
①當(dāng)n=1時命題顯然成立
②假設(shè)n=k（k∈N^*）命題成立，即ak=

1

k

當(dāng)n=k+1時，a_k+1=

ak

1+ak

=

1

k+1

…（7分）
∴n=k+1時命題成立
綜合①②當(dāng)n∈N^*時命題成立…（10分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式以及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的證明方法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力與邏輯推理能力．