Question

1．已知復數(shù)z=x+yi（x，y∈R）在復數(shù)平面上對應的點為M．
（1）若z+2i是實數(shù)，且|z|=2$\sqrt{5}$，求點M的坐標；
（2）設(shè)復數(shù)z滿足|2z+15|=$\sqrt{3}$|$\overline{z}$+10|，且復數(shù)ω=6+8i在復平面上對應的點為N，求|MN|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由復數(shù)z=x+yi（x，y∈R），z+2i是實數(shù)，求出y的值，代入復數(shù)求模公式計算即可求出x的值，則點M的坐標可求；
（2）由已知條件結(jié)合復數(shù)求模公式計算得到點M的軌跡為以原點為圓心半徑為$5\sqrt{3}$的圓，進一步求出|MN|的取值范圍．

解答 解：（1）復數(shù)z=x+yi（x，y∈R），
則z+2i=x+（y+2）i是實數(shù)，∴y+2=0，即y=-2．
∴$|z|=\sqrt{{x}^{2}+（-2）^{2}}=2\sqrt{5}$，解得x=±4．
∴點M的坐標為（-4，-2）或（4，-2）；
（2）由|2z+15|=$\sqrt{3}$|$\overline{z}$+10|，
得$|（2x+15）+2yi|=\sqrt{3}|（x+10）-yi|$，
即x²+y²=75．
∴點M的軌跡為以原點為圓心半徑為$5\sqrt{3}$的圓．
復數(shù)ω=6+8i在復平面上對應的點為N的坐標為：（6，8），
∴$10-5\sqrt{3}≤|MN|≤10+5\sqrt{3}$．
故|MN|的取值范圍是：[$10-5\sqrt{3}$$，10+5\sqrt{3}$]．

點評 本題考查了復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查了復數(shù)模的求法，是中檔題．