Question

8．己知函數(shù)f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）圖象過點（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），如圖所示．
（1）求φ的值；
（2）若f（α）=$\frac{3}{5}$且α∈[-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$]，求sinπα的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象過點（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），求得cosφ 的值，可得φ的值．
（2）利用兩角差的正弦公式求得 sinπα=sin[（πα+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）圖象過點（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），∴cosφ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，φ=$\frac{π}{4}$．
（2）若f（α）=cos（πα+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，且α∈[-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$]，∴πα+$\frac{π}{4}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴sin（πα+$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$，
∴sinπα=sin[（πα+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=sin（πα+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-cos（πα+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{4}{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{3}{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

點評 本題主要考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，兩角差的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題．