【題目】如圖,已知正三棱錐P﹣ABC的底面邊長為4,側(cè)棱長為8,E,F(xiàn)分別為PB,PC上的動(dòng)點(diǎn),求截面△AEF周長的最小值,并求出此時(shí)三棱錐P﹣AEF的體積.

【答案】解:如圖,沿棱AB,AC,PA剪開,得到正三棱錐的側(cè)面展開圖,
則AA1的長為△BEF的周長的最小值.
由平面幾何知識(shí)可證△PAE≌△PA1F,于是PE=PF,
又PB=PC,故EF∥BC.
∵∠ABE=∠PBC,∠AEB=∠PCB,
∴△ABE∽△PBC,

∴BE=2,
AE=A1F=4,PE=8﹣2=6.
由EF∥BC,有 ,
,
∴AA1=AE+EF+A1F=4+3+4=11,
∴△AEF周長的最小值是11,此時(shí) ,即E,F(xiàn)分別在PB,PC的四等分點(diǎn)處.
取BC中點(diǎn)G,連AG、PG,過P作PO⊥AG,垂足為O,則PO⊥平面ABC,
過A作AH⊥PG,垂足為H,則AH⊥平面PBC.
在Rt△PAO中,OA= ,
在Rt△PBG中,PG= ,又
由等積原理可得, ,
由于E、F是PB、PC的四等分點(diǎn),
∴SPEF= ,
=


【解析】沿棱AB、AC、PA剪開,得到正三棱錐的側(cè)面展開圖,在平面圖形中,利用平面幾何知識(shí)可得EF∥BC,再由△ABE∽△PBC,結(jié)合相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例及平行線截線段成比例定理求得截面△AEF周長的最小值;由△AEF周長取最小值時(shí)E,F(xiàn)分別在PB,PC的四等分點(diǎn)處.可得三角形PEF面積與三角形PBC面積的關(guān)系,再求出A到側(cè)面PBC的距離,利用等積法可得三棱錐P﹣AEF的體積.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列四個(gè)命題:
①“等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角均為60°”的逆命題;
②“若k>0,則方程x2+2x﹣k=0有實(shí)根”的逆否命題;
③“全等三角形的面積相等”的否命題;
④“若 = ,則 ”的否命題,
其中真命題的個(gè)數(shù)是(
A.0
B.1
C.2
D.3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知等差數(shù)列{an}首項(xiàng)a1=1,公差為d,且數(shù)列 是公比為4的等比數(shù)列,
(1)求d;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an及前n項(xiàng)和Sn;
(3)求數(shù)列 的前n項(xiàng)和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知{an}是等差數(shù)列,滿足a1=3,a4=12,數(shù)列{bn}滿足b1=4,b4=20,且{bn﹣an}為等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知圓x2+y2+x﹣6y+m=0與直線x+2y﹣3=0相交于P,Q兩點(diǎn),O為原點(diǎn),且OP⊥OQ,求實(shí)數(shù)m的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】中,,分別是角A,B,C的對(duì)邊,且.

(1)求角的值;

(2)已知函數(shù),將的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖像,求的單調(diào)增區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,平面,分別是棱的中點(diǎn).

1)求證:平面;

2)求證:平面平面.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知點(diǎn)A(6,2),B(3,2),動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|=2|MB|.
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)設(shè)M的軌跡與y軸的交點(diǎn)為P,過P作斜率為k的直線l與M的軌跡交于另一點(diǎn)Q,若C(1,2k+2),求△CPQ面積的最大值,并求出此時(shí)直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖為一簡單組合體,其底面ABCD為正方形,棱PD與EC均垂直于底面ABCD,PD=2EC,N為PB的中點(diǎn),求證:

(1)平面EBC∥平面PDA;
(2)NE⊥平面PDB.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案