Question

已知為常數(shù)，，函數(shù)，且方程有等根．

（1）求的解析式及值域；

（2）設(shè)集合，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使的定義域和值域分別為和？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1），值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721171219286955/SYS201411172117175056114489_DA/SYS201411172117175056114489_DA.002.png">；（2）；（3）存在，使的定義域和值域分別為和.

【解析】

試題分析：（1）由方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則，得，又由，可求，從而求得，進(jìn)而得出函數(shù)的值域；

（2）首先對集合進(jìn)行分類：①；②；然后根據(jù)二次函數(shù)圖像以及根的分布情況，分別確定實(shí)數(shù)的取值范圍；最后將這兩類情況的實(shí)數(shù)的取值范圍取并集即可；

（3）由函數(shù)的最大值，確定，從而知當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù).若滿足題設(shè)條件的存在，則，從而可求的值.

試題解析：（1）

又方程，，即有等根，

，即，從而，.

又，值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721171219286955/SYS201411172117175056114489_DA/SYS201411172117175056114489_DA.002.png">.

（2），

①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，解得；

②當(dāng)時(shí)，設(shè)，對稱軸，要，只需，解得， .

綜合①②，得.

（3），則有，.

又因?yàn)閷ΨQ軸，所以在是增函數(shù)，即，

解得，.

∴存在，使的定義域和值域分別為和.

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系；函數(shù)解析式的求解及常用方法；二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．