Question

已知函數(shù)f（x）=sin2x+2cos²x．
（Ⅰ）求函數(shù)的周期；
（Ⅱ）求f（x）的最大值及對(duì)應(yīng)的x值的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的余弦,兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：綜合題,三角函數(shù)的求值

分析：（I）根據(jù)二倍角的余弦公式結(jié)合輔助角公式，化簡整理得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期，不難得到函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的最大值，即可求f（x）的最大值及對(duì)應(yīng)的x值的集合．

解答： 解：（Ⅰ）∵2cos²x-1=cos2x，
∴f（x）=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
因此，函數(shù)的周期T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）∵-1≤sin（2x+

π

4

）≤1，
∴當(dāng)2x+

π

4

=

π

2

+2kπ時(shí)，即x=

π

8

+kπ（k∈Z）時(shí)，函數(shù)的最大值為

2

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合輔助角公式和三角函數(shù)的降冪公式，將三角函數(shù)式化簡并求函數(shù)的周期與最值，著重考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用和函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．