Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為A（2，0），離心率為

2

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）經(jīng)過點(diǎn)M（1，1）能否作一條直線l，使直線l與橢圓交與A，B兩點(diǎn)，且使得M是線段AB的中點(diǎn)，若存在，求出它的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）直接根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率建立等式進(jìn)行求解；
（2）首先，假設(shè)存在符合條件的直線，對(duì)斜率是否存在進(jìn)行討論，然后，聯(lián)立方程組，利用判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）∵橢圓C的頂點(diǎn)為A（2，0），
∴a=2，
又∵e=

c

a

=

2

2

，
∴c=

2

，
∵b=

a2-c2

=

2

，
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）當(dāng)過點(diǎn)M的直線斜率不存在時(shí)，顯然不成立，
設(shè)直線的斜率為k，則其方程為：
y-1=k（x-1），
聯(lián)立方程組

y-1=k(x-1) x2 4 + y2 2 =1

，
消去y并整理，得
（1+2k²）x²-4（k²-k）x+2k²-4k-2=0，
∴△=16（k²-k）²-4（1+2k²）（2k²-4k-2）＞0，
整理，得
3k²+2k+1＞0，
∴k∈R，
∵x₁+x₂=

4(k2-k)

1+2k2

，
且點(diǎn)M（1，1）是線段AB的中點(diǎn)，
∴

4(k2-k)

1+2k2

=2，
∴k=-

1

2

，
故存在這樣的直線，此時(shí)，直線方程為：
y-1=-

1

2

（x-1），
即x+2y-3=0，
∴存在符合條件的直線，它的方程x+2y-3=0．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、直線方程等知識(shí)，處理存在性問題的一般思路為：首先，假設(shè)存在，然后，根據(jù)條件作出判斷．本題屬于中檔題．