Question

1．關(guān)于x的方程x+lgx=3，x+10^x=3的兩個(gè)根分別為α，β，則α+β的值為3．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，構(gòu)造兩函數(shù)f（x）=lgx，f^-1（x）=10^x，由反函數(shù)圖象間的對(duì)稱關(guān)系得出α+β=3．

解答 解：第一個(gè)方程可化為：lgx=3-x，
第二個(gè)方程可化為：10^x=3-x，
記f（x）=lgx，則其反函數(shù)f^-1（x）=10^x，
它們的圖象關(guān)于直線y=x軸對(duì)稱，
根據(jù)題意，α，β為f（x），f^-1（x）的圖象與直線y=3-x交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)，
由于兩交A，B點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
所以，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)β就是A點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即A（α，β），
將A（α，β）代入直線y=3-x得，α+β=3，
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了互為反函數(shù)圖象間對(duì)稱性的應(yīng)用，涉及指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性，以及坐標(biāo)之間的關(guān)系，屬于中檔題．