Question

2．已知等比數(shù)列{a_n}是遞增的等比數(shù)列，且a₁+a₃=34，a₂a₄=64，設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，則S_n=$\frac{2}{3}$（4ⁿ-1），若b_n=$\frac{4{a}_{n}}{{S}_{n}{S}_{n-1}}$，則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{2（{4}^{n}-4）}{{4}^{n}-1}$．

Answer 1

分析 設(shè)等比數(shù)列{a_n}是公比為q的遞增的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)，求得a₁=2，a₃=32，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得首項(xiàng)和公比，由等比數(shù)列的求和公式可得S_n，求出b_n=$\frac{4{a}_{n}}{{S}_{n}{S}_{n-1}}$=$\frac{4（{S}_{n}-{S}_{n-1}）}{{S}_{n}{S}_{n-1}}$=4（$\frac{1}{{S}_{n-1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$）（n≥2），再由裂項(xiàng)相消求和可得T_n．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}是公比為q的遞增的等比數(shù)列，
a₂a₄=64，可得a₁a₃=64，
又a₁+a₃=34，解得a₁=2，a₃=32，
即有q²=16，解得q=4（負(fù)的舍去），
則S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{2（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{2}{3}$（4ⁿ-1）；
b_n=$\frac{4{a}_{n}}{{S}_{n}{S}_{n-1}}$=$\frac{4（{S}_{n}-{S}_{n-1}）}{{S}_{n}{S}_{n-1}}$=4（$\frac{1}{{S}_{n-1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$）（n≥2），
前n項(xiàng)和T_n=4（$\frac{1}{{S}_{1}}$-$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$-$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n-1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$）
=4（$\frac{1}{{S}_{1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$）=4[$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2（{4}^{n}-1）}$]=$\frac{2（{4}^{n}-4）}{{4}^{n}-1}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$（4ⁿ-1），$\frac{2（{4}^{n}-4）}{{4}^{n}-1}$．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查數(shù)列求和的方法：裂項(xiàng)相消求和，以及化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．