Question

2．若數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=2a_n-2，記b_n=log₂a_n．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）若c₁=1，c_n+1=c_n+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$，求證：c_n＜3．

Answer 1

分析 （1）利用遞推公式與等比數(shù)列的通項公式可得a_n，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)可得b_n．
（2）c₁=1，c_n+1=c_n+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$，可得c_n+1-c_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$=d_n，利用“錯位相減法”可得數(shù)列{d_n}的前n項和，即可得出．

解答 （1）解：S_n=2a_n-2，n=1時，a₁=2a₁-2，解得a₁=2．n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），化為：a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為2，首項為2，
∴a_n=2ⁿ．
∴b_n=log₂a_n=n．
（2）證明：c₁=1，c_n+1=c_n+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$，
∴c_n+1-c_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$=d_n，
設數(shù)列{d_n}的前n項和為T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$1-\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴${T}_{n}=2-\frac{2+n}{{2}^{n}}$．
∴c_n+1=（c_n+1-c_n）+（c_n-c_n-1）+…+（c₂-c₁）+c₁=3-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$＜3．
∴c_n＜3．

點評 本題考查了遞推關系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“累加求和”方法、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．