Question

7．數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當n≥2時，其前n項的和S_n滿足a_n=$\frac{{S}_{n}^{2}}{{S}_{n}-1}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=log₂$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+2}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列遞推式可得數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{{S}_{1}}=\frac{1}{{a}_{1}}=1$為首項，以1為公差的等差數(shù)列，求出等差數(shù)列的通項公式后可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入b_n=log₂$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+2}}$，整理后利用裂項相消法求得數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）由a_n=$\frac{{S}_{n}^{2}}{{S}_{n}-1}$，得${{S}_{n}}^{2}=（{S}_{n}-{S}_{n-1}）（{S}_{n}-1）$，
即S_n-1-S_n=S_nS_n-1，∴$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}=1$（n≥2），
則數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{{S}_{1}}=\frac{1}{{a}_{1}}=1$為首項，以1為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}=1+（n-1）×1=n$，則${S}_{n}=\frac{1}{n}$．
∴當n≥2時，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}=-\frac{1}{n（n-1）}$．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{-\frac{1}{n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）$_{n}=lo{g}_{2}\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+2}}=lo{g}_{2}\frac{n+2}{n}=lo{g}_{2}（n+2）-lo{g}_{2}n$．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=log₂3-log₂1+log₂4-log₂2+log₂5-log₂3+…+log₂（n+2）-log₂n
=log₂（n+2）+log₂（n+1）-log₂2-log₂1=$lo{g}_{2}（{n}^{2}+3n+2）-1$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了裂項相消法求數(shù)列的和，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，是中檔題．