Question

1．若動圓與圓x²+y²+2x=0外切，同時與圓x²+y²-2x-8=0內(nèi)切．
（1）求動圓圓心的軌跡E的方程；
（2）過點（1，0）且斜率為k（k≠0）的直線l交曲線E于M，N兩點，弦MN的垂直平分線與x軸相交于點D，設(shè)弦MN的中點為P，試求$\frac{|DP|}{|MN|}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）作圖輔助，從而可得點E的軌跡是以O(shè)₁（-1，0），O₂（1，0）為焦點，以4為定長的橢圓；從而寫出方程即可．
（2）由題意設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），與$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1聯(lián)立消y可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由韋達定理可得x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，從而求得|MN|=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+3}$，|DP|=$\frac{3\sqrt{{k}^{2}（{k}^{2}+1）}}{3+4{k}^{2}}$，從而求$\frac{|DP|}{|MN|}$的取值范圍．

解答 解：（1）如右圖，O₁（-1，0）是圓x²+y²+2x=0的圓心，
O₂（1，0）是圓x²+y²-2x-8=0的圓心，
∴|EO₁|=1+r，|EO₂|=3-r（r是動圓的半徑），
∴|EO₁|+|EO₂|=4，
∴點E的軌跡是以O(shè)₁（-1，0），O₂（1，0）為焦點，以4為定長的橢圓，
∴a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$；
∴動圓圓心的軌跡E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x≠-2）；
（2）由題意設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），
與$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1聯(lián)立消y可得，
（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）；
則x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴弦MN的中點P（$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{-3k}{3+4{k}^{2}}$），
∴|MN|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）（（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}）}$=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+3}$，
直線PD的方程為y-$\frac{-3k}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$），
∴|DP|=$\frac{3\sqrt{{k}^{2}（{k}^{2}+1）}}{3+4{k}^{2}}$，
∴$\frac{|DP|}{|MN|}$=$\frac{3\sqrt{{k}^{2}（{k}^{2}+1）}}{12（{k}^{2}+1）}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{1-\frac{1}{{k}^{2}+1}}$，
又∵k²+1＞1，
∴0＜$\frac{1}{4}$$\sqrt{1-\frac{1}{{k}^{2}+1}}$＜$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{|DP|}{|MN|}$的取值范圍為（0，$\frac{1}{4}$）．

點評 本題考查了軌跡方程的求法及圓錐曲線與直線的綜合應用，考查了數(shù)形結(jié)合的思想應用及化簡運算的能力，屬于難題．