Question

14．（文）在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，且對(duì)任意大于1的正整數(shù)n，點(diǎn)（$\sqrt{{a}_{n}}$，$\sqrt{{a}_{n-1}}$）在直線y=x-$\sqrt{2}$上，則$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$=2．

Answer 1

分析 由代入法，再由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$（n-1）=$\sqrt{2}$n，即a_n=2n²．再由數(shù)列極限的運(yùn)算和公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：點(diǎn)（$\sqrt{{a}_{n}}$，$\sqrt{{a}_{n-1}}$）在直線y=x-$\sqrt{2}$上，可得
$\sqrt{{a}_{n-1}}$=$\sqrt{{a}_{n}}$-$\sqrt{2}$，即為$\sqrt{{a}_{n}}$-$\sqrt{{a}_{n-1}}$=$\sqrt{2}$，
可得數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}}$}為首項(xiàng)為$\sqrt{2}$，公差為$\sqrt{2}$的等差數(shù)列，
即有$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$（n-1）=$\sqrt{2}$n，即a_n=2n²．
則$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2{n}^{2}}{{n}^{2}+2n+1}$
=$\frac{2}{1+\underset{lim}{n→∞}\frac{2}{n}+\underset{lim}{n→∞}\frac{1}{{n}^{2}}}$=$\frac{2}{1+0+0}$=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查數(shù)列極限的求法，注意運(yùn)用極限公式：$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{n}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{n}^{2}}$=0，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．