Question

3．某商店預(yù)備在一個月內(nèi)分批購入每張價值為20元的書桌共36臺，每批都購入x臺（x是正整數(shù)），且每批均需付運費4元，儲存購入的書桌一個月所付的保管費與每批購入書桌的總價值（不含運費）成正比，若每批購入4臺，則該月需用去運費和保管費共52元，現(xiàn)在全月只有48元資金可以用于支付運費和保管費．
（1）求該月需用去的運費和保管費的總費用f（x）；
（2）能否恰當(dāng)?shù)匕才琶颗�進貨的數(shù)量，使資金夠用？寫出你的結(jié)論，并說明理由．
（3）要使該月用于支付運費和保管費的資金費用最少，每批進貨的數(shù)量應(yīng)為多少？

Answer 1

分析 （1）不妨設(shè)題中比例系數(shù)為k，每批購入x 臺，共需分$\frac{36}{x}$批，每批價值為20x 元，總費用f（x）=運費+保管費；由x=4，y=52可得k，從而得f（x）；
（2）每批進貨的數(shù)量控制在4≤x≤9，資金才夠用．令$\frac{144}{x}$+4x≤52，解不等式即可得到；
（3）由（1）的解析式，由基本不等式可求得當(dāng)x為何值時，f（x）的最小值．

解答 解：（1）設(shè)題中比例系數(shù)為k，若每批購入x 臺，則共需分$\frac{36}{x}$批，
每批價值為20x 元，
由題意，得：f（x）=$\frac{36}{x}$•4+k•20x，
由x=4時，y=52，得：k=$\frac{1}{5}$，
即有f（x）=$\frac{144}{x}$+4x（0＜x≤36，x∈N）；
（2）每批進貨的數(shù)量控制在4≤x≤9，資金才夠用．
理由如下：令$\frac{144}{x}$+4x≤52，化簡為（x-4）（x-9）≤0，
解得4≤x≤9；
（3）由（1）知，f（x）=$\frac{144}{x}$+4x（0＜x≤36，x∈N），
則f（x）≥2$\sqrt{\frac{144}{x}•4x}$=48，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{144}{x}$=4x，即x=6時，上式等號成立；
故只需每批購入6張書桌，
可以使該月用于支付運費和保管費的資金費用最少．

點評 本題考查函數(shù)模型的運用，考查不等式的解法和基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$（a＞0，b＞0）的應(yīng)用：求最值，考查運算能力，屬于中檔題．