Question

16．設(shè)直線l：y=kx+1與曲線f（x）=ax²+2x+b+ln（x+1）（a＞0）相切于點P（0，f（0））．
（1）求b，k的值；
（2）若直線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)f（x）在x=0處的導數(shù)，從而求出切線的斜率，可得b=1，k=-1；
（2）將切線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點等價于方程ax²-2x+1+ln（x+1）=-x+1即ax²-x+ln（x+1）=0有且只有一個實數(shù)解．令h（x）=ax²-x+ln（x+1），求出h'（x），然后討論a與$\frac{1}{2}$的大小，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出滿足使方程h（x）=0有一解x=0的a的取值范圍即可．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²-2x+b+ln（x+1）∴f（0）=b，
由切線y=kx+1，可得f（0）=1=b，
∴f'（x）=$\frac{2a{x}^{2}+（2a-2）x-1}{x+1}$，∴f′（0）=-1，
切點P（0，1），切線l的斜率為k=-1；
（2）切線l：y=-x+1與曲線y=f（x）有且只有一個公共點等價于
方程ax²-2x+1+ln（x+1）=-x+1，
即ax²-x+ln（x+1）=0有且只有一個實數(shù)解．
令h（x）=ax²-x+ln（x+1），∵h（0）=0，
∴方程h（x）=0有一解x=0
h'（x）=2ax-1+$\frac{1}{x+1}$，
①若a=$\frac{1}{2}$，則h'（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+1}$≥0（x＞-1），
∴h（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=0是方程h（x）=0的唯一解；
②若0＜a＜$\frac{1}{2}$，則h′（x）=0兩根x₁=0，x₂=$\frac{1}{2a}$-1＞0，
在x∈（-1，0），（x₂，+∞） 時，h′（x）＞0，h（x）遞增，
在（0，x₂）時，h′（x）＜0，h（x）遞減，
∴h（$\frac{1}{2a}$）＜h（0）=0，而h（$\frac{1}{a}$）＞0，
∴方程h（x）=0在（$\frac{1}{2a}$-1，+∞）上還有一解，則h（x）=0解不唯一；
③若a＞$\frac{1}{2}$，則h′（x）=0兩根x₁=0，x₂=$\frac{1}{2a}$-1∈（-1，0）
同理可得方程h（x）=0在（-1，$\frac{1}{2a}$-1）上還有一解，
則h（x）=0解不唯一；
綜上，當切線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點時，a=$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想，以及計算能力，屬于中檔題，綜合題．